С тем, что такое треугольник Паскаля и арифметические прогрессии высших порядков мы, вроде, разобрались. Теперь попробуем закрепить полученные знания, построив собственную арифметическую прогрессию.
Начнём с построения прогрессии нулевого порядка.
Для этого нам нужно взять разность прогрессии, которая будет наблюдаться в прогрессии первого порядка. Выберем 2 и получим последовательность чисел в прогрессии нулевого порядка: 2 2 2 2 2 2. Иными словами именно на это число должны различаться члены прогрессии второго порядка. Пусть первый член каждого новой порядка будет больше первого члена предыдущего порядка на 3. Также стоит напомнить, что каждый член n-1ого порядка представляет собой разность соседних членов ряда n-ого порядка. Тогда, учитывая все условия, получим второй ряд чисел: 5(2+3) 7(5+2) 9(7+2) 11 13 15 17.
Выведем несложный алгоритм для построения нашей прогрессии:
Начиная писать новый порядок, необходимо прибавить к первому члену предыдущего порядка 3 – получаем «старт» нового порядка. Чтобы написать следующий член любого порядка, необходимо к предыдущему прибавить число предыдущего порядка, стоящее над ним. Покажем на примере:
0-ой порядок: 2 2 2 2 2 2
1-ый порядок: 5(2+3) 7 9 11 13 15 (получаем: 13предыдущий член порядка+2вышестоящая разность) 17
2-ой: 8(5+3) 13 20 29 40 53 68 85
Основываясь на приведённом алгоритме, построим ряды чисел, соответствующие членам прогрессии с первого до пятого порядка:
Нулевой порядок: 2 2 2 2 2 2
Первый порядок: 5 7 9 11 13 15 17
Второй порядок: 8 13 20 29 40 53 68 85
Третий порядок: 11 19 32 52 81 121 174 242 327
Четвертый порядок: 14 25 44 76 128 209 330 504 746 1073
Пятый порядок: 17 31 56 100 176 304 513 843 1347 2093 3166
В полученной прогрессии можно заметить закономерность: каждый n-ый член любого порядка равен сумме первого члена это же порядка и сумме чисел (m-1)-ого порядка вплоть до (n-1)-ого члена.
Докажем:
Возьмем для примера шестой член 5-ого порядка - 304. Его сумма будет складываться из выделенных чисел: 17 - 1-ый член 5-ого порядка; 14 - 1-ый, 25 - 2-ой, 44 – 3-ий, 76 – 4-ый, 128 – 5-ый члены четвертого порядка. 17+14+25+44+76+128.
Прогрессия 5-ого порядка в MS Excel.
Мы смогли составить свою прогрессию пятого порядка и вывести алгоритм нахождения её составляющих. Это было очень увлекательное и поистине интересное задание. Так приятно постигать тайны математики!
Комментариев нет:
Отправить комментарий