Геометрическая прогрессия в русских задачах

 В этом разделе вы узнаете о самых древних задачах на геометрическую прогрессию. Итак, посмотрим...

Задачи из рукописей XVII века:

1.   Идет семь баб:
У всякия бабы по семи посохов:
На всяком посохе по семи сучков:
На всяком сучку по семи кошелей:
Во всяком кошеле но семи пирогов:
Во всяком пироге по семи воробев:
Во всяком воробе по семи пупков:
И всего — ?
Решение:
По формуле найдём сумму геометрической прогрессии
S₇=7+7²+7³+7⁴+7⁵+7⁶ ==137256
Ответ: 137256

2.  Было 40 градов, а во всяком граде по 40 улиц, а во всякой улице по 40 домов, а во всяком доме по 40 столпов, а во всяком столпе по 40 колец, а у всякого кольца по 40 ко­ней. а у всякого копя по 40 человек, а у всякого человека по 40 плетей: ино много-ли порознь всего будет?

Решение:

Член прогрессии	Сущность	Количество
b1	грады	40
b2	улицы	b2 = b1·q = 40·40 = 1600
b3	дома	b3 = b2·q = 1600·40 = 64000
b4	столпы	b4 = b3·q = 64000·40 = 2560000
b5	кольца	b5 = b4·q = 2560000·40 = 102400000
b6	кони	b6 = b5·q = 102400000·40 = 4096000000
b7	люди	b7 = b6·q = 4096000000·40 = 163840000000
b8	плети	b8 = b7·q = 163840000000·40 = 6553600000000

Из старинного русского учебника математики «Полный курс чистой математики» Ефима Войтяховского (1795):

3. Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т. д. По истечению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.

Решение:

655 руб. 35 коп. = 65535 коп.

По формуле суммы членов геометрической прогрессии найдём количество ран: 

 

Ответ: воин получил 16 ран

          Из «Арифметики» Магницкого:

4. Некто продавал лошадь за 1000 рублей. Но покупатель раздумал покупать её, говоря: 

   – Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

  Тогда продавец предложил другие условия:

     – Если, по-твоему, цена высока, то купи только подковные гвозди, а лошадь получишь в придачу бесплатно. Гвоздей в подкове шесть. За первый гвоздь дай мне всего полушку (1/4 коп.), за второй – 2 полушки (1/2 коп.), за третий – 4 полушки (1 коп.) и т д. Покупатель, соблазнённый низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей. Так ли это? На сколько покупатель проторговался?

Решение:

 

Ответ: ≈ на 41000 рублей.

5. К купцу на ночлег попросился путник и предложил такую сделку: «Если пустишь меня на постой, то я тебе в течение месяца каждый день буду платить, но 1000 рублей. А ты мне будешь отдавать в первый день - 2 копейки, во второй - 4 копейки, в третий - 8 копеек и так далее, увеличивая плату каждый день в 2 раза». Купец подсчитал: за месяц он получит 30 000 рублей, а отдавать ему придется какие-то копейки. И с радостью согласился. Кто выиграет в сделке?

Решение:

Ответ: выиграет путник.

6. Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и еще пол-яблока: третьему - половину оставшихся и еще пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и еще пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение:

Пусть изначально было х яблок, тогда 1-ый покупатель получил:

2-ой покупатель:

3-ий покупатель:

Последующие получают яблоки в соответствии с законами геометрической прогрессии. И наконец 7-ой покупатель получает:

В результате составим уравнение:

преобразуем в

Вычислим сумму членов геометрической прогрессии в скобках:

С учётом суммы геометрической прогрессии в скобках решим уравнение:

Ответ: 127 яблок.

Из «Арифметики» Леонардо Эйлера (1768):

7. 

Решение: b₁ = 1, b₂ = 2, b₃ = 4, …

        Ответ: 1023.

8. 

9. 

Решение: b₁ = 3, b₂ = 6, b₃ = 12, …

Ответ: 381.

10.

Решение:

Ответ: 2

Из «Сборника алгебраических задач» Пржевальского Е.М. (1866):

11. 

12.

Решение: 

Ответ: 

13.

Решение: l = b₅ = b₁·q⁴ = a·q⁴ = 3·4⁴ = 768

Ответ: l = 768, S = 1023.

14. 

Решение: l = b₄ = b₁·q³ = a·q³ = 10

a·2³ = 10, a ==1,25

S = S₄ ==18,75

Ответ: a = 1,25, S = 18,75.

15.

Решение:

Ответ:.

16. 

Решение:

Ответ: 

17. 

Решение:

Ответ: 50; 10; 2.

18. 

Решение:

Разделим второе уравнение системы на первое, получим:

q²=4

q = ±2

q = 2, b₁(1+2) = 15, b₁ = 5, b₂ = 10, b₃ = 20, b₄ = 40

q = - 2, b₁(1 – 2) = 15, b₁ = –15, b₂ = 30, b₃ = – 60, b₄ = 120

Ответ: 5, 10, 20, 40 или –15, 30, – 60,  120.

19. 

Решение:

b_1 + b_2 + b_3 + b₄ = 30

3q² = 4 + 4q

3q² – 4q – 4 = 0

D₁ = 16
q₁ = 2, q₂ = – не подходит по условию

b₁ (1 + q + q² + q²) = 30

b₁ (1 + 2 + 4 + 8) = 30

b₁ = 2, b₂ = 4, b₃ = 8, b₄ = 16

Ответ: 2, 4, 8, 16.

Из учебника «Арифметика. Курс средних учебных заведений» (1887):

20.  Капиталъ въ 640 руб. отданъ въ ростъ по 5% на 3 года. Сколько получено процентныхъ денегъ? (Капитал в 640 рублей положили в банк на 3 года под 5% годовых. Какова будет сумма вклада через 3 года?)

Решение: b₁ = 640, q = 1,05

b₄ = b₁· q³ = 640 · 1,05³ = 640 · 1,157625 = 740,88

Ответ: 740,88 рублей

Из задачника А.П. Киселёва (1931):

21.   Заметили, что население одного города увеличивается с каждым годом в одном и том же отношении. Как велико это отношение, если за 3 года население увеличилось с 10000 до 14641 человека?

Решение: b₁ = 10000, b₃ = 14641

b₃ = b₁· q², q² = 1,4641, q = 1,21

Ответ: 1,21