Арифметическая прогрессия

 

 

 

Виды арифметических прогрессий

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число обычно обозначают буквой d и называют разностью арифметической прогрессии.

d = а₂ – а₁ = а₃ – а₂ = а₄ – а₃ = …

Арифметическую прогрессию можно задать

    ∆  рекуррентно, т.е. с помощью предыдущих членов: а_n = а_{n – 1 +} d или

    ∆  аналитически, т.е. с помощью формулы n-го члена: а_n = а_{1 +} d (n – 1).

  Арифметическая прогрессия является монотонно

    ∆  воз­растающей, если d > 0. Например, 1, 3, 5, 7, 9… (а₁ = 1, d = 2) В таких прогрессиях каждый член (кроме первого) больше предыдущего.

        ∆  убывающей, если d < 0. Например, 20, 17, 14, 11, 8... (а₁ = 20, d = - 3) В таких прогрессиях каждый член (кроме первого) меньше предыдущего.    

         ∆  стационарной, если d = 0. Например, 5, 5, 5, 5, 5, …; 

       ∆  конечной. Например, последовательность двузначных четных чисел: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, …., 96, 98.

    ∆  бесконечной. Например, последовательность нечетных натуральных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …

Числовая последовательность является ариф­метической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и послед­него — в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшест­вующего и последующего членов. Это утверждение называют характеристи­ческим свойством арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия второго порядка – такая числовая последовательность, в которой последовательность разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36, …,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2: d₁ = 3, d₂ = 5, d₃ = 7, d₄ = 9, d₅ = 11, …

 3, 5, 7, 9, 11…

Арифметическую прогрессию второго порядка образуют фигурные числа:

Треугольные числа – число точек, которые можно разложить в форме правильного треугольника:     1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … Разности образуют арифметическую прогрессию:      2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …        Сумма двух последовательных треугольных чисел образует квадратное число	n-е треугольное число – Tn – это сумма n первых натуральных чисел
Квадратные числа – произведение числа с самим собой, т.е. квадрат целого числа: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, … Разности образуют арифметическую прогрессию: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … (а1 = 3, d = 2)	Квадрат натурального числа n – это сумма n первых нечетных чисел n = 1: 1 = 1 n = 2: 4 = 1 + 3 n = 7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11+ 13
Пятиугольные числа – это числа, которые образуют правильный пятиугольник:  1, 5, 12, 22, 35, 51, … Разности образуют арифметическую прогрессию: 4, 7, 10, 13, 16, 19, … (а1 = 4, d = 3)
Шестиугольные числа – число точек в состоящем из них правильном шестиугольнике, треугольные числа с нечетным номером: 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, … Разности образуют арифметическую прогрессию: 5, 9, 13, 17, 21, 25, … (а1 = 5, d = 4)
Семиугольные числа: 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, … Разности образуют арифметическую прогрессию: 6, 11, 16, 21, 26, 31, … (а1 = 6, d = 5)

Прямоугольные числа – числа, которые являются произведением двух последовательных целых чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, … Разности образуют арифметическую прогрессию: 4, 6, 8, 10, 12, 14, … (а1 = 4, d = 2)

 Арифметическую прогрессию третьего порядка образуют, например, кубы чисел: 1, 8, 27, 64, 125, …

Разности образуют арифметическую прогрессию второго порядка: 7, 19, 37, 61, …

Разности прогрессии второго порядка образуют арифметическую прогрессию: 12, 18, 24, …  (а₁ = 12, d = 6)

Об арифметических прогрессиях высших порядков и их связи с треугольником Паскаля читайте на следующих страницах нашего блога

    Вы удивитесь, но арифметические прогрессии можно встретить даже в поэзии.

Арифметическую прогрессию можно встретить и в написании стихотворений. Она скрыта в размере стихотворной строфы. Номера ударных слогов в стихотворениях образуют арифметическую прогрессию. Например, стихотворный размер - ямб. Каждый второй слог, начиная со второго, ударный.

 

Есть в русской природе усталая     нежность,     Безмолвная боль затаённой            печали,     Безвыходность горя,                           безгласность, безбрежность,     Холодная высь, уходящие дали.      (К. Бальмонт «Безглагольность»)                              Амфибрахий
Мороз и солнце, день чудесный! Ещё ты дремлешь, друг прелестный – Пора, красавица, проснись…                  (А.С.Пушкин «Зимнее утро»)                                               Ямб
Это утро, радость эта, Эта мощь и дня и света, Этот синий свод, Эти стаи, эти птицы, Этот крик и вереницы, Этот говор вод...             (А. Фет "Это...")                         Хорей
Улеглась метелица… путь озарён… Ночь глядит миллионами тусклых очей… Погружай меня в сон, колокольчика звон! Выноси меня, тройка усталых коней!                         (Я. Полонский «Колокольчик»)                                              Дактиль

    

    Предлагаем вам вспомнить, как решаются задачи из школьной программы 9 класса по теме "Арифметическая прогрессия", выбрать формулы для их решения.