Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля так прост, что  выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.
Мартин Гарднер

Что же такое треугольник Паскаля и арифметические прогрессии высших порядков? Попробуем разобраться вместе.
Начнём с треугольника Паскаля: для меня он находится за плотной, но влекущей и интригующей завесой тайны.
Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.
Небольшая историческая справка о волшебном треугольнике:
Треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года - даты выхода «Трактата об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля, который был специально посвящен данной таблице и по содержательности опережал своих предшественников.
В Италии треугольник Паскаля иногда называют «треугольником Тартальи», поскольку Никколо Тарталья описал эту таблицу на сто лет раньше Паскаля.
Похожий треугольник представлен в качестве иллюстрации в книге китайского математика Яна Хуэя, изданной в 1303 году.
О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.
 
Перейдем, наконец, к самому «чуду математики». Что же представляет из себя этот загадочный треугольник?

 

Начнем с описания внешнего вида:

В верхней строчке треугольника располагается одинокая единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше — слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю.

Несколько слов о строении на математическом языке:

Обозначим буквой n номер строки треугольника, а буквой k — номер числа в строке (нумерация начинается в обоих случаях с нуля). Число в n-ой строке и на k-ом месте в этой строке обозначается    .

Числа называют обычно числами сочетаний из n элементов по k, или биномиальными коэффициентами; в некоторых книгах для них используют обозначение . Оно удобно для запоминания простой формулы, позволяющей по заданным номерам n и k сразу вычислить, какое число стоит на k-м месте в n-й строке треугольника Паскаля:

Используя обозначение факториала , эту формулу можно записать еще короче:

.

Ну и как мы можем обойтись без самого интересного! Удивительному треугольнику не менее удивительные свойства:

        ∆   Сумма всех чисел в n-ой строке равна n-ой степени двойки: 2n.

В «равнобедренной» форме треугольника Паскаля очевидно свойство симметрии каждой строки ; при этом посередине строки стоит самое большое число (если n четно) или два самых больших числа (если n нечетно), а к краям числа монотонно убывают.

  Первое и последнее числа в строке равны 1;

  Второе и предпоследнее числа в строке равны n;

  Первая диагональ - это натуральные числа, идущие по порядку 

  Третье число равно треугольному числу{\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}, что также равно сумме номеров предшествующих строк, отсюда: вторая диагональ - это «треугольные» числа. Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде.

∆  Третья диагональ - это «пирамидальные» числа (один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее)

∆ Четвёртое число является тетраэдрическим; Четвертая диагональ – это «фигурные числа» в четырехмерном измерении. Это можно представить только в виртуальном мире. Один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти…

Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи


  Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.

Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

  Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

  В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.

  Если номер строки – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

  Каждое число, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.

  Бином Ньютона – возведение выражения (a + b) в степень. При возведении в степень получаются коэффициенты, равные числам в треугольнике Паскаля.

Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки контрастного цвета, а чётные - белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники, образующие изящный узор.

Итак, подведём промежуточный итог: треугольник Паскаля – это удивительное явление математики, которое обладает многими интересными и удивительными свойствами.

Но как же он связан с арифметическими прогрессиями высшего порядка? На этот вопрос мы найдем ответ после того как разберёмся с другим, пока неизвестным для нас понятием – арифметические прогрессии высшего порядка.

Из курса алгебры 9 класса нам прекрасно известно, что «Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,..., an,... для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии».

Но что значит высший порядок? Попробуем разобраться:

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию

Покажем на примере:

   1 5 9 13 17 21… — арифметическая прогрессия первого порядка, так как

5-1 = 9-5 = 13-9…, то есть разности арифметической прогрессии равны у всех членов. 

 1 5 10 16 23 31… — арифметическая прогрессия второго порядка, потому что  31-23 = 23-16+1 = 16-10+2 = 10-5+3

То есть, разности прогрессии второго порядка образую прогрессию первого порядка:  4 5 6 7 8

Получается, что за одной последовательностью чисел скрывается другая последовательность.

Аналогично можно ввести более высокие прогрессии — третьего порядка — её разности образуют прогрессию второго порядка, четвёртого порядка — её разности образуют прогрессию третьего порядка, и любую другую прогрессию.

Теперь, имея небольшие, но, на наш взгляд, вполне достаточные знания об арифметических прогрессиях высших порядков вернемся к треугольнику Паскаля:


Обратим внимание на выделенную зеленую линию. Она представляет собой прогрессию второго порядка. Поясним:

Ряд чисел – прогрессия второго порядка: 1 3 6 10 15 21 28. Найдем разность этой прогрессии: 2 3 4 5 6 7, разности представляют собой ещё одну прогрессию уже первого порядка. Теперь найдем разность в прогрессии первого порядка: 1 1 1 1.

Сейчас, убедившись в том, что в треугольнике Паскаля в наличии различное множество прогрессий, попробуем найти «клад» поинтереснее:

Возьмем для рассмотрения девятую диагональ и продолжим ряд чисел (выделена синим) -  1 9 45 165 495 1287 (792 + 495 по свойству треугольника Паскаля)  

3003((924+792) + 1287) 6435( 3003+(1716+ 1716)) 12870.

Пропишем алгоритм действий: будем вычитать каждый член прогрессии из следующего, получая разность и переходя к новому порядку, до тех пор, пока не получится прогрессия нулевого порядка, то есть состоящая из одного и того же числа.

N-ый порядок        1  9  45 165 495 1287 3003 6435 12870     

(N-1)-ый порядок   8  36 120 330 792  1716 3432 6435

(N-2)-ый порядок    28 84  210 462  924  1716 3003

(N-3)-ый порядок      56 126 252 462  792  1287

(N-4)-ый порядок        70   126 210  330  495

(N-5)-ый порядок            56    84   120  165

(N-6(-ый порядок                28    36     45

(N-7)-ый порядок                     8        9

Нулевой порядок                           1

Таким образом, мы обнаружили прогрессию восьмого порядка и нашли ещё одну закономерность: каждый новый порядок повторяет предыдущую диагональ.

Подводя итог, мы можем сказать о том, что совершили увлекательнейшее путешествие по загадочному и привлекательному миру математики, не только изучили новый материал, но сделали для себя маленькие открытия.

Чтобы лучше разобраться с построением и свойствами треугольника Паскаля, предлагаем посмотреть следующее видео »»

Комментариев нет:

Отправить комментарий