Начнем с описания внешнего вида:
В верхней строчке треугольника располагается одинокая единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше — слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю.
Несколько слов о строении на математическом языке:
Обозначим буквой n номер строки треугольника, а буквой k — номер числа в строке (нумерация начинается в обоих случаях с нуля). Число в n-ой строке и на k-ом месте в этой строке обозначается .
Числа называют обычно числами сочетаний из n элементов по k, или биномиальными коэффициентами; в некоторых книгах для них используют обозначение . Оно удобно для запоминания простой формулы, позволяющей по заданным номерам n и k сразу вычислить, какое число стоит на k-м месте в n-й строке треугольника Паскаля:
Используя обозначение факториала , эту формулу можно записать еще короче:
.
Ну и как мы можем обойтись без самого интересного! Удивительному треугольнику не менее удивительные свойства:
∆ Сумма всех чисел в n-ой строке равна n-ой степени двойки: 2n.∆ В «равнобедренной» форме треугольника Паскаля очевидно свойство симметрии каждой строки ; при этом посередине строки стоит самое большое число (если n четно) или два самых больших числа (если n нечетно), а к краям числа монотонно убывают.
∆ Первое и последнее числа в строке равны 1;
∆ Второе и предпоследнее числа в строке равны n;
∆ Первая диагональ - это натуральные числа, идущие по
порядку
∆ Третья диагональ - это «пирамидальные» числа (один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее)
∆ Четвёртое число является тетраэдрическим; Четвертая диагональ – это «фигурные числа» в четырехмерном измерении. Это можно представить только в виртуальном мире. Один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти…
∆ Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n − 1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи
∆ Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
∆ Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
∆ Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
∆ Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
∆ В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.
∆ Если номер строки – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.
∆ Каждое число, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.
∆ Бином Ньютона – возведение выражения (a + b) в степень. При возведении в степень получаются коэффициенты, равные числам в треугольнике Паскаля.
∆ Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки контрастного цвета, а чётные - белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники, образующие изящный узор.
Итак, подведём промежуточный итог: треугольник Паскаля – это удивительное явление математики, которое обладает многими интересными и удивительными свойствами.
Но как же он связан с арифметическими прогрессиями высшего порядка? На этот вопрос мы найдем ответ после того как разберёмся с другим, пока неизвестным для нас понятием – арифметические прогрессии высшего порядка.
Из курса алгебры 9 класса нам прекрасно известно, что «Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,..., an,... для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии».
Но что значит высший порядок? Попробуем разобраться:
Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию.
Покажем на примере:
1 5 9 13 17 21… — арифметическая прогрессия первого порядка, так как
5-1 = 9-5 = 13-9…, то есть разности арифметической прогрессии равны у всех членов.
1 5 10 16 23 31… — арифметическая прогрессия второго порядка, потому что 31-23 = 23-16+1 = 16-10+2 = 10-5+3…
То есть, разности прогрессии второго порядка образую прогрессию первого порядка: 4 5 6 7 8
Получается, что за одной последовательностью чисел скрывается другая последовательность.
Аналогично можно ввести более высокие прогрессии — третьего порядка — её разности образуют прогрессию второго порядка, четвёртого порядка — её разности образуют прогрессию третьего порядка, и любую другую прогрессию.
Теперь, имея небольшие, но, на наш взгляд, вполне достаточные знания об арифметических прогрессиях высших порядков вернемся к треугольнику Паскаля:
Обратим внимание на выделенную зеленую линию. Она представляет собой прогрессию второго порядка. Поясним:
Ряд чисел – прогрессия второго порядка: 1 3 6 10 15 21 28. Найдем разность этой прогрессии: 2 3 4 5 6 7, разности представляют собой ещё одну прогрессию уже первого порядка. Теперь найдем разность в прогрессии первого порядка: 1 1 1 1.
Сейчас, убедившись в том, что в треугольнике Паскаля в наличии различное множество прогрессий, попробуем найти «клад» поинтереснее:
Возьмем для рассмотрения девятую диагональ и продолжим ряд чисел (выделена синим) - 1 9 45 165 495 1287 (792 + 495 по свойству треугольника Паскаля)
3003((924+792) + 1287) 6435( 3003+(1716+ 1716)) 12870.
Пропишем алгоритм действий: будем вычитать каждый член прогрессии из следующего, получая разность и переходя к новому порядку, до тех пор, пока не получится прогрессия нулевого порядка, то есть состоящая из одного и того же числа.
N-ый порядок 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870
(N-1)-ый порядок 8 36 120 330 792 1716 3432 6435
(N-2)-ый порядок 28 84 210 462 924 1716 3003
(N-3)-ый порядок 56 126 252 462 792 1287
(N-4)-ый порядок 70 126 210 330 495
(N-5)-ый порядок 56 84 120 165
(N-6(-ый порядок 28 36 45
(N-7)-ый порядок 8 9
Нулевой порядок 1
Таким образом, мы обнаружили прогрессию восьмого порядка и нашли ещё одну закономерность: каждый новый порядок повторяет предыдущую диагональ.
Подводя итог, мы можем сказать о том, что совершили увлекательнейшее путешествие по загадочному и привлекательному миру математики, не только изучили новый материал, но сделали для себя маленькие открытия.
Чтобы лучше разобраться с построением и свойствами треугольника Паскаля, предлагаем посмотреть следующее видео »»
Комментариев нет:
Отправить комментарий